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Voici le détail du calcul :
Ce qui est délicat, c’est le calcul
de :
G = ò 0<Dxf(x)dx, avec
f(x) = s -1 (2p)- 1/2 exp{ - (1/2)[(x – m)/s]2}
Il faut calculer l’intégrale depuis -¥
, l’origine zéro dans l’intégrale ci-dessus traduisant simplement le fait que
m est beaucoup plus grand que
Il faut calculer l’intégrale depuis -¥
, l’origine zéro dans l’intégrale ci-dessus traduisant simplement le fait que
m est beaucoup plus grand que s.
On calcule donc :
G = ò -¥
<Dxf(x)dx
Posons (x – m)/
On calcule donc :
G = ò -¥
<Dxf(x)dx
Posons (x – m)/s = U
On trouve
G = ò -¥
<(D-m)/s(m+sU) (2p)- 1/2 exp (-U2/2) dU
G = mF(D) + H, avec :
H = s (2p)- 1/2 ò -¥ <(D-m)/s U exp (-U2/2) dU
Pour calculer H, il est bien naturel de procéder au changement
de variable z = U2/2. Cependant, comme cette relation n’est pas monotone
sur l’intervalle d’intégration, il faut y mettre un peu de soin.
L’intégrale sur ]-¥ , (D-m)/
Pour calculer H, il est bien naturel de procéder au changement
de variable z = U2/2. Cependant, comme cette relation n’est pas monotone
sur l’intervalle d’intégration, il faut y mettre un peu de soin.
L’intégrale sur ]-¥ , (D-m)/s] est égale à l’intégrale sur ]-¥ , +¥ [ plus l’intégrale sur ]+¥ ,
(D-m)/s]. L’intégrale sur ]-¥ , +¥ [ est nulle. Donc le second terme
du membre de droite est égal à :
H = - s (2p)- 1/2 ò (D-m)/s< + ¥ U exp
(-U2/2) dU
H = - s (2p)- 1/2 exp{ - (1/2)[(D – m)/s]2}
H = - s2
f(D)
Et donc
G = mF(D) - s2 f(D)
cqfd
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