Annexe
2 février 2002
A chaque instant, l’utilité
de l’entreprise est :
(1) Ut = (Ltπt)ξ
= (L0eτ tπt)ξ.
Il faut que l’entreprise
arbitre entre les utilités à divers instants. L’efficacité W qu’il
s’agit de maximiser sur l’intervalle de
temps (t0, t1) peut s’écrire, en posant t0 =
0 :
(2)
W = L0ξ ∫e(τξ
– r) tπtξ
dt, l'intégrale étant calculée sur l'intervalle (t0, t1).
Si le temps t1 est
fini, nous devons imposer un niveau minimum d’informatisation pour permettre
à l’entreprise de fonctionner au delà de t1 :
(3) s(t1) ≥ s1.
Si t1 est infini, le
problème est de choisir le sentier π(t) de sorte que :
Max ∫e(τξ
– r) tπtξ
dt, l'intégrale étant calculée de t0
jusqu'à l'infini,
ds/dt = [f(s) - w - π]/b - λs, avec λ = a/b + δ + τ,
s(t0)
= s0
0
≤ π
≤ f(s) - as - w
π(t)
continue par morceaux.
La solution est le sentier
optimal de profit π*, dont on déduit le sentier optimal du taux
d’informatisation s*, les deux sentiers étant définis pour toutes les
valeurs de t ≥ t0.
L’Hamiltonien
est :
(4)
H = e(τξ
– r) t{U(π)
+ q{[f(s) - w - π]/b - λs }}
où q est la variable duale.
Pour obtenir un maximum intérieur,
il faut que :
(5) q = U’(π)
L’équation canonique pour la
variable duale est :
(6)
d[(e(τξ
– r) tq(t)]/dt
= - ∂H/∂s
Ce qui implique :
(7)
f’(s)/b + q’/q – (λ
+ r - τξ )
= 0
Si nous différencions q(t) =
U’[π (t)] le long du
sentier optimal, nous obtenons :
(8) q’/q = -s(π)
π’/π
On peut donc écrire l’équation
canonique de la variable duale sous la forme d’une équation différentielle
selon la variable de contrôle :
(9)
π’ = [f’(s)/b – (λ + r -
τξ)] [π/σ(π)]
(10)
s’ = [f(s) - w - π]/b
- λs
Ignorons la condition relative
au taux initial d’informatisation. Alors il est possible de rechercher la
solution pour laquelle le profit par personne et le taux d’informatisation
restent constants.
Si le profit par personne est
constant, π’ = 0 et
donc s = s* tel que :
(11)
f’(s*)/b = λ + r
- τξ
soit :
(12)
f’(s*) = a + b[δ +
r + τ(1
- ξ)], d’où si
f(s) = sμ :
(13)
s* = {µ/[a + b(r + δ
+ τ(1 –
ξ))]}1/(1 - µ)
|
