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Éléments de théorie des sondages
(voir système de pilotage de l'entreprise)
Considérons une population P de m individus, et une variable X
observable sur chacun de ces individus. Supposons m grand. Soit xi la valeur de
X sur l’individu courant.
La somme des xi, leur moyenne x et leur
écart-type seront connus si l’on demande à chaque individu de déclarer son xi.
Le coût d’une observation exhaustive peut cependant être élevé. Il est alors
intéressant de procéder par sondage.
Exploitation d’un sondage
Dans la population, on va tirer au hasard n individus. Sur cet échantillon, on
va mesurer la moyenne x de X :
(1) x = S xi / n
x est une variable aléatoire, car sa valeur dépend du
choix des individus qui composent l’échantillon. Si n est assez grand x suit
une loi de Laplace-Gauss d ’espérance mathématique x (x
est un estimateur de x). L’estimateur de sa variance est sx2 = s2/n,
où
(2) s2 = S (xi - x)2 /
(n - 1)
est lui-même un estimateur de la variance des xi
dans l’ensemble de la population P.
L’imprécision due au tirage de l’échantillon est
donc d’autant plus faible que n est plus grand : la précision d’un sondage
dépend de la taille de l’échantillon, non du taux de sondage.
L’ " intervalle de confiance à 95 % "
est l’intervalle [ x - 2 sx , x + 2 sx ] : cela veut dire que si l’on tire un grand nombre
d’échantillons, cet intervalle contiendra dans 95% des cas la valeur vraie x.
Ce résultat n’est vrai que si l’échantillon a bien
été tiré au hasard. Or pour réussir un tirage au hasard il faut suivre un protocole
précis. Si l’on fait par exemple un sondage en prenant des personnes au hasard dans
la rue, on risque d’avoir un biais, dû à la composition sociologique du
quartier, au fait que les personnes âgées ou infirmes ne sortent pas dans la rue, etc.
On gagne par ailleurs en précision si l’on stratifie
la population, c’est-à-dire si on la divise en sous-populations (strates) soumises
à des sondages séparés : la variance de l’estimateur est alors plus faible.
Sondage et source exhaustive
Supposons que l’on dispose d’une source exhaustive sur
la variable X (on connaît donc x), et que l’on réalise un sondage
pour estimer une autre variable Y. Il sera alors intéressant d’observer aussi la
variable X sur l’échantillon, car si Y est corrélée avec X on pourra améliorer la
précision de l’estimation de y.
L’estimation du " coefficient de corrélation de
X et de Y " est :
(3) r (X, Y) = S(xi - x)(yi - y)/sXsY
On améliore l’estimation de y en utilisant non y =
S yi / n, mais :
(4) y’ = ax + b,
où a et b sont les coefficients de la régression de Y sur X
estimés sur l’échantillon (cf. indications sur la
régression).
En effet, l’espérance de y’ est y,
y’ est donc un estimateur de y ; sa variance est :
(5) sy’2=
sy2 (1 -
r2)
Si X et Y sont corrélés (
Si X et Y sont corrélés ( r2 proche de 1) y’ est un estimateur plus précis que y.
Pour calculer y’ et estimer sa précision, on
procède donc ainsi :
estimer a et b par régression de Y sur X sur
l’échantillon ;
calculer y’ par (4) ;
estimer la corrélation de X et Y par (3) ;
calculer la variance de y’ par (5).
Grâce à ce résultat, on peut améliorer la précision des
sondages en utilisant les informations fournies par une source exhaustive. La connaissance
exhaustive sur certaines données permet ainsi d’améliorer celle des données
observées par sondage, dans la mesure où ces dernières sont corrélées aux données
connues de façon exhaustive.
Ce gain en précision peut être utilisé soit pour améliorer
les estimateurs pour une taille d’échantillon donnée, soit pour diminuer la taille
de l’échantillon et alléger le sondage tout en préservant sa qualité.
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